Lagrange 插值

插值函数

Lagrange 插值函数：

L (x) = y_{0} l_{0} (x) + y_{1} l_{1} (x) + y_{2} l_{2} (x) + \dots + y_{i} l_{i} (x) + \dots + y_{n} l_{n} (x)

其插值基函数：

l_{i} (x) = \prod_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}

例题及其解析

例

已知 $f (0) = 0$ ， $f (1) = 1$ ， $f (4) = 2$ ，建立 Lagrange 二次插值多项式，求 $f (2)$ 的近似值。

Lagrange 二次插值多项式：

L_{2} (x) = f (0) l_{0} (x) + f (1) l_{1} (x) + f (4) l_{2} (x)

其中，

l_{0} (x) = \frac{x - x_{1}}{x_{0} - x_{1}} \cdot \frac{x - x_{2}}{x_{0} - x_{2}}

l_{1} (x) = \frac{x - x_{0}}{x_{1} - x_{0}} \cdot \frac{x - x_{2}}{x_{1} - x_{2}}

l_{2} (x) = \frac{x - x_{0}}{x_{2} - x_{0}} \cdot \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}

代入整理化简：

L_{2} (x) = - \frac{1}{6} x^{2} + \frac{7}{6} x

所以

f (2) \approx L_{2} (2) = 1.6667

注意

给定 $n + 1$ 个互异节点，其不超过 $n$ 次的插值多项式存在且唯一（无论哪种插值方法）。

R_{n} (x) = f (x) - L (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} ω_{n + 1} (x)

其中， $f (x)$ 为原函数，

$L (x)$ 为 $[a, b]$ 上 $f (x)$ 的 $n$ 次插值多项式函数，

$ξ$ 为 $[a, b]$ 上的某个数，

$ω_{n + 1} (x) = (x - x_{0}) (x - x_{1}) \dots (x - x_{n})$ 为 $n + 1$ 次多项式。

若这 $n$ 个插值节点符合一个不超过 $n$ 次的多项式，则 Lagrange 插值多项式 $L (x)$ 就是这个多项式本身。
Lagrange 基函数具有单位分解特性，即：对 $[x_{0}, x_{n}]$ 间任一点 $x$ ，有 $\sum_{i = 1}^{n} l_{i} (x) = 1$ 。