Newton 迭代法

阶数

Newton 迭代法至少是二阶迭代法。

迭代公式

$$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}$$

局部收敛定理

一般不用局部收敛定理

Newton 迭代法一般使用下面的 全局收敛定理。

若在 $f(x)=0$ 的根 $x^{\ast }$ 的某邻域内，有 $f^{″}(x)$ 连续，且 $f^{\prime }(x^{\ast })=0$，则对这个邻域内任意初值 $x_0$，Newton 迭代法均收敛。

全局收敛定理

若 $f(x)=0$ 的根 $x^{\ast }\in [a,b]$，且 $\mathrm{\forall }x\in [a,b]$，且 $f^{\prime }(x^{\ast })\ne 0$，$f^{″}(x^{\ast })\ne 0$，则在 $[a,b]$ 内，能使 $f(x_0)f^{″}(x_0)>0$ 的初值 $x_0$ 均能使 Newton 迭代法收敛。