简单迭代法

阶数

简单迭代法是一阶迭代法。

对于非线性方程 $f(x)=0$，若存在一个函数 $g(x)$，使得 $x=g(x)$，则称 $g(x)$ 是 $f(x)=0$ 的一个迭代函数，可以进行迭代计算。

这个过程并不总是收敛，有可能会发散。所以使用简单迭代法计算前要判断是否收敛：

全局收敛定理

一般不用全局收敛定理

简单迭代法一般使用下面的 局部收敛定理。

若 $g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内，有：

1. 压缩性：$g^{\prime }(x)$ 连续且存在 $0<L<1$ 使得 $|g^{\prime }(x)|\le L$
2. 映内性：$\mathrm{\forall }x\in [a,b]$ 使得 $g(x)\in [a,b]$

则：

1. 有唯一解：$x=g(x)$ 在 $[a,b]$ 上有唯一定根 $x^{\ast }$
2. 任意初值都收敛：迭代公式 $x_{k+1}=g(x_k)$ 对 $\mathrm{\forall }x\in [a,b]$ 均收敛

局部收敛定理

若在 $x=g(x)$ 的根 $x^{\ast }$ 的某邻域内，有：

$g^{\prime }(x)$ 连续，且存在 $0<L<1$ 使得 $|g^{\prime }(x)|\le L$（压缩性），

则对这个邻域内的任意 $x$，简单迭代法均收敛。

提示

要先通过零点存在性定理判断这个区间是否为隔根区间，再使用局部收敛定理。