Euler 方法及其改进

对于如下的常微分方程初值问题：

$$\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x,y)& \text{（给定一阶常微分方程）}\\ y(x_o)=y_0& \text{（给定方程的解的初值）}\end{array}$$

若其满足某些条件（Lipschitz）则该问题一定存在唯一连续可微解 $y=y(x)$。

Euler-梯形预估矫正方法

一般取一次迭代，即将第 1 个 $y_{x+1}$ 作为近似解，则有

$$\{\begin{array}{cc}{y}_{n+1}^{(0)}=y_n+hf(x_n,y_n)& \text{预估算式}\\ y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{n+1}^{(0)})]& \mathrm{矫}\mathrm{正}\mathrm{算}\mathrm{式}\end{array}$$

例题及其解析

例

取步长 $h=0.1$，用 Euler-梯形预估矫正方法求解初值问题 $\{\begin{array}{c}{y}^{\prime }=x+y\\ y(0)=1\end{array}$ 的数值解（$0\le x\le 0.4$）

由题意：$f(x,y)=x+y$，代入 $\{\begin{array}{c}{y}_{n+1}^{(0)}=y_n+hf(x_n,y_n)\\ y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{n+1}^{(0)})]\end{array}$

得：$\{\begin{array}{c}{y}_{n+1}^{(0)}=0.1x_n+1.1y_n\\ y_{n+1}=0.05x_n+0.05x_{n+1}+1.05y_n+0.05y_{n+1}^{(0)}\end{array}$

$n$	$x_n$	$y_n$	预估 $y_{n+1}^{(0)}$	矫正 $y_{n+1}$
$0$	$0$	$1$	$1.1$	$1.11$
$1$	$0.1$	$1.11$	$1.22$	$1.24205$
$2$	$0.2$	$1.24205$	$1.362$	$1.398465$
$3$	$0.3$	$1.398465$	$1.5382$	$1.526804$
$4$	$0.4$	$1.526804$